Po co w ogóle rysować nierówności trygonometryczne na kole?
Od suchych wzorów do obrazu, który naprawdę widać
Nierówności trygonometryczne wielu osobom kojarzą się z długim ciągiem przekształceń algebraicznych, dzieleniem przez tajemnicze wyrażenia i wiecznym ryzykiem pomyłki przy okresowości. Tymczasem ten sam problem można zobaczyć jako prostą sytuację geometryczną: punkt poruszający się po okręgu i fragment okręgu, który spełnia dane warunki.
Zamiast zastanawiać się, jakie kąty spełniają warunek sin x ≥ a, można zadać dużo prostsze pytanie: która część okręgu jednostkowego leży nad poziomą prostą y = a? I nagle zadanie przestaje być „magiczne” – staje się rysunkiem, który da się spokojnie przeanalizować.
Wiele błędów w zadaniach z nierównościami trygonometrycznymi wynika nie z braku wiedzy, tylko z braku obrazu: ktoś źle wyobraża sobie kąty, myli ćwiartki, zapomina o okresowości. Rysunek na okręgu jednostkowym działa jak mapa – od razu widać, czy wynik ma sens, czy gdzieś nie uciekł istotny kawałek rozwiązań.
Kiedy rysunek naprawdę pomaga, a kiedy tylko spowalnia
Samo rysowanie wszystkiego „jak leci” może oczywiście spowolnić pracę. Klucz polega na tym, żeby używać okręgu jednostkowego tam, gdzie daje natychmiastowy zysk:
gdy w nierówności występuje prosty warunek na znak: sin x > 0, cos x ≤ 0, tan x > 1,
gdy liczby po prawej stronie są „klasyczne”: 1/2, √2/2, √3/2, 0, ±1,
gdy trzeba wskazać konkretny przedział, np. rozwiązania w ⟨0, 2π), a nie ogólną postać z 2kπ,
gdy w nierówności pojawia się mieszanka sin i cos i łatwo się w niej pogubić.
Są oczywiście sytuacje, gdy rysunek jest tylko dodatkiem – na przykład przy czysto rachunkowym przekształcaniu nierówności przed przejściem do funkcji trygonometrycznej jednej zmiennej. Jednak jako narzędzie kontroli i „zdrowego rozsądku” sprawdza się niemal zawsze.
Rola okręgu jednostkowego: sinus i cosinus jako współrzędne
Okrąg jednostkowy to okrąg o promieniu 1, którego środek znajduje się w początku układu współrzędnych. Każdemu kątowi skierowanemu x (mierzonemu zazwyczaj od dodatniej półosi osi OX) odpowiada punkt na tym okręgu. I tu pojawia się kluczowa rzecz: współrzędne tego punktu to (cos x, sin x).
Z tego od razu wynika kilka niezwykle użytecznych faktów:
sin x to po prostu współrzędna y punktu na okręgu (wysokość nad osią OX),
cos x to współrzędna x tego punktu (odległość od osi OY w poziomie),
znak sin x mówi, czy punkt jest nad czy pod osią OX,
znak cos x mówi, czy punkt jest po prawej, czy po lewej stronie osi OY.
Z punktu widzenia nierówności trygonometrycznych to wręcz idealna sytuacja: każda nierówność staje się opisem tego, gdzie na okręgu może leżeć punkt odpowiadający danemu kątowi.
To samo zadanie „na sucho” i z rysunkiem – szybkie porównanie
Rozważmy zadanie: rozwiąż nierówność sin x ≥ 1/2 w przedziale ⟨0, 2π).
Rozwiązanie „na sucho” wygląda zwykle tak:
Najpierw rozwiązujemy równanie: sin x = 1/2.
Wyniki: x = π/6 + 2kπ oraz x = 5π/6 + 2kπ.
Przy sin x ≥ 1/2 wybieramy kąty między π/6 a 5π/6, korzystając z faktu, że sinus rośnie w I ćwiartce i maleje w II.
W przedziale ⟨0, 2π) wychodzi: x ∈ [π/6, 5π/6].
Z rysunkiem na okręgu jednostkowym:
Rysujemy okrąg jednostkowy i prostą poziomą y = 1/2.
Zaznaczamy dwa punkty przecięcia z okręgiem (one odpowiadają kątom π/6 i 5π/6).
Pytamy: która część okręgu leży nad prostą y = 1/2 (bo sin x ≥ 1/2 to y ≥ 1/2)?
Widzimy, że to łuk od π/6 do 5π/6 i od razu mamy odpowiedni przedział.
Na kartce zadanie „z rysunkiem” często zajmuje mniej czasu, a jednocześnie dużo lepiej utrwala zrozumienie, skąd w ogóle bierze się przedział [π/6, 5π/6].
Okrąg jednostkowy – solidny fundament pod nierówności
Definicja: punkt na okręgu i kąt skierowany
Wyobraź sobie promień wychodzący z początku układu współrzędnych i obracający się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kąt, o jaki się obrócił, to właśnie nasz x. Koniec tego promienia leży na okręgu jednostkowym i ma współrzędne (cos x, sin x).
Dzięki temu można myśleć o kącie na dwa sposoby jednocześnie:
jako o wielkości w radianach lub stopniach,
jako o konkretnym punkcie na okręgu (a więc o parze liczb – cos x, sin x).
Ten prosty pomysł zamienia abstrakcyjne nierówności w bardzo konkretne pytanie: gdzie na tym okręgu wolno mi narysować punkt? Odpowiedzią zawsze będzie jakiś łuk, kilka łuków albo całe okręgi z wyciętymi fragmentami.
Jak wygodnie rysować okrąg jednostkowy w zeszycie
W zadaniach szkolnych nie chodzi o rysunek techniczny, tylko o szybki szkic. Dobrze sprawdza się prosty zestaw kroków:
rysujesz osie OX i OY,
szkicujesz okrąg o promieniu „na oko” – ważne, żeby przecinał osie w czterech punktach,
zaznaczasz kierunek dodatni kątów (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara),
Kąty dodatnie „idą w lewo w górę”, ujemne – „w prawo w dół”. Dobrze jest od razu zaznaczać kilka podstawowych kątów (nawet małymi kreskami na okręgu), bo będą wracały przy praktycznie każdym zadaniu z nierównościami trygonometrycznymi.
Ćwiartki i znaki sinusa oraz cosinusa
Okrąg jednostkowy dzieli się naturalnie na cztery części – ćwiartki układu współrzędnych. To one decydują o znaku sinusa i cosinusa.
Ćwiartka
Zakres kątów (w radianach)
sin x
cos x
I
(0, π/2)
> 0
> 0
II
(π/2, π)
> 0
< 0
III
(π, 3π/2)
< 0
< 0
IV
(3π/2, 2π)
< 0
> 0
Zauważ, że sinus (y) zmienia znak przy przechodzeniu przez oś OX (góra/dół), a cosinus (x) – przy przechodzeniu przez oś OY (prawo/lewo). Już ta prosta obserwacja pozwala rozwiązać wiele najprostszych nierówności bez ani jednego obliczenia.
Klasyczne kąty: 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π
Na okręgu jednostkowym wciąż przewijają się te same wartości kątów. Dobrze jest mieć je „pod ręką” w głowie, razem z odpowiadającymi im wartościami sinusa i cosinusa. Nawet bardzo schematycznie warto zaznaczać je na rysunku.
0 rad (0°) – punkt (1, 0)
π/6 (30°) – sinus 1/2, cosinus √3/2
π/4 (45°) – sinus √2/2, cosinus √2/2
π/3 (60°) – sinus √3/2, cosinus 1/2
π/2 (90°) – punkt (0, 1)
π (180°) – punkt (-1, 0)
Znajomość tych kątów działa jak klucz do szyfru – pozwala szybko uchwycić, gdzie leżą punkty przecięcia okręgu z prostymi x = a lub y = a, a to dokładnie to, co jest potrzebne przy nierównościach typu sin x ≥ a czy cos x < b.
Nierówności typu sin x > 0, cos x < 0 – start od najprostszych
Znak sinusa i cosinusa a położenie na okręgu
Sinus jest dodatni wtedy, gdy punkt leży nad osią OX, a ujemny, gdy jest pod osią. Cosinus jest dodatni po prawej stronie osi OY, a ujemny – po lewej. Ten prosty fakt pozwala rozwiązać najprostsze nierówności bez liczenia.
sin x > 0 – punkt na okręgu musi leżeć nad osią OX, czyli w I lub II ćwiartce,
sin x ≤ 0 – punkt leży na osi OX lub pod nią, czyli w III, IV ćwiartce oraz na osiach,
cos x ≥ 0 – punkt na prawo od osi OY lub na niej, czyli I, IV ćwiartka i sama oś,
cos x < 0 – punkt ściśle po lewej, czyli w II i III ćwiartce.
W praktyce oznacza to, że zamiast rozwiązywać równania pomocnicze, wystarczy opisać te fragmenty okręgu, dla których znak sinusa lub cosinusa jest odpowiedni.
Rozwiązywanie „czystych” nierówności krok po kroku
Przykład 1. Rozwiąż nierówność sin x > 0 dla x ∈ ℝ.
Na okręgu: szukamy punktów nad osią OX. To są wszystkie kąty, których końcowy promień leży w I lub II ćwiartce. Jedno pełne okrążenie daje przedział (0, π). Dodatkowo trzeba też dołożyć wszystkie kolejne pełne obroty, więc:
x ∈ (0 + 2kπ, π + 2kπ), gdzie k ∈ ℤ.
Przykład 2. Rozwiąż nierówność cos x ≤ 0 dla x ∈ ℝ.
Cosinus jest nie dodatni wtedy, gdy punkt leży po lewej stronie osi OY lub na niej. Jeden obrót: [π/2, 3π/2]. Z okresowością:
x ∈ [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ], k ∈ ℤ.
W obu przykładach rysunek sprawia, że przedziały „same się narzucają”. Bez szkicu częste są pomyłki typu odwrócone nawiasy, zgubiony brzeg przedziału albo złe położenie względem π.
Opis rozwiązań w konkretnym przedziale, np. ⟨0, 2π)
W zadaniach maturalnych nierówności trygonometryczne bardzo często mają być rozwiązane nie w całej ℝ, tylko w konkretnym przedziale, najczęściej ⟨0, 2π). Wtedy okrąg jednostkowy jest szczególnie wygodny: wystarczy rozpatrzyć dokładnie jeden obrót od 0 do 2π.
Przykład. Rozwiąż cos x < 0 w przedziale ⟨0, 2π).
Cosinus ujemny: punkt po lewej stronie osi OY, czyli II i III ćwiartka.
W jednym pełnym obrocie odpowiada to kątom z przedziału (π/2, 3π/2).
Odpowiedź: x ∈ (π/2, 3π/2).
Nierówności typu sin x ≥ a, cos x < b – proste proste na okręgu
Prosta pozioma a nierówności z sinusem
Przy nierównościach z sinusem cała magia dzieje się w pionie. Sinus to współrzędna y punktu na okręgu, więc warunek sin x ≥ a oznacza:
„szukam wszystkich punktów na okręgu, których wysokość y jest co najmniej równa a”.
Na rysunku wygląda to tak:
Rysujesz okrąg jednostkowy i prostą poziomą y = a.
Jeżeli |a| > 1 – prosta w ogóle nie przecina okręgu, więc nie ma rozwiązań.
Jeżeli |a| = 1 – prosta styka się z okręgiem w jednym punkcie: dla sin x = 1 (x = π/2 + 2kπ) lub sin x = -1 (x = 3π/2 + 2kπ).
Jeżeli |a| < 1 – prosta przecina okrąg w dwóch punktach, odpowiadających dwóm kątom o tym samym sinusie.
Dopiero w tym ostatnim przypadku pojawia się prawdziwa nierówność i łuk do zaznaczenia. Wtedy zadajemy sobie pytanie: czy interesuje nas fragment nad prostą (sin x ≥ a), czy pod prostą (sin x ≤ a)?
Standardowy przykład: sin x ≥ 1/2 na całej osi
Wcześniej pojawiła się wersja z przedziałem ⟨0, 2π). Rozszerzmy ją na wszystkie liczby rzeczywiste, korzystając z okręgu.
Rozważ nierówność sin x ≥ 1/2, tym razem dla x ∈ ℝ.
Rysujemy prostą y = 1/2 i okrąg.
Punkty przecięcia to kąty x = π/6 oraz x = 5π/6 (w pierwszym obrocie).
Interesują nas punkty nad prostą, a więc łuk od π/6 do 5π/6 w każdym pełnym obrocie.
Na jednym okrążeniu mamy więc przedział [π/6, 5π/6]. Co z wszystkimi obrotami dookoła?
Dodajemy okres 2π:
x ∈ [π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ], gdzie k ∈ ℤ.
Na rysunku widać to jak zestaw „kopii” tego samego łuku – za każdym razem przesuniętego o pełne 2π w prawo lub w lewo na osi kątów.
Nierówność sin x ≤ a – odwrócenie sytuacji
Gdy tylko w nierówności z sinusem zmieniamy znak z ≥ na ≤, łuk na okręgu przeskakuje z jednej strony prostej na drugą.
Przykład. Rozwiąż sin x ≤ 1/2 dla x ∈ ⟨0, 2π).
Szkic:
Prosta y = 1/2 znów przecina okrąg w punktach odpowiadających kątom π/6 i 5π/6.
Tym razem interesują nas punkty na lub pod prostą.
Na okręgu w jednym pełnym obrocie widać dwa fragmenty:
od 0 do π/6 – tu sinus rośnie od 0 do 1/2,
od 5π/6 do 2π – tutaj sinus zaczyna od 1/2, potem maleje przez 0 do wartości ujemnych.
Odpowiedź w zadanym przedziale:
x ∈ [0, π/6] ∪ [5π/6, 2π).
Widać, dlaczego tu łatwo się pomylić „na sucho”: same liczby π/6 i 5π/6 są takie jak wcześniej, ale łuki są już zupełnie inne. Rysunek momentalnie to porządkuje.
Prosta pionowa a nierówności z cosinusem
Cosinus to współrzędna x na okręgu, więc nierówność cos x ≥ b tłumaczymy na język geometrii jako:
„szukam punktów na okręgu po prawej stronie prostej pionowej x = b”.
Układ jest bardzo podobny do sinusa:
Rysujemy prostą pionową x = b.
Jeżeli |b| > 1 – prosta nie przecina okręgu, rozwiązań brak.
Jeżeli |b| = 1 – jest jedno miejsce styku: x = 0 + 2kπ (dla cos x = 1) lub x = π + 2kπ (dla cos x = -1).
Jeżeli |b| < 1 – są dwa punkty przecięcia (dwa kąty o tym samym cosinusie).
Potem decydujemy, czy patrzymy w prawo od prostej (cos x ≥ b), czy w lewo (cos x ≤ b). Znowu efekt będzie łukiem lub sumą łuków na jednym obrocie.
Przykład: cos x > 1/2 w przedziale ⟨0, 2π)
Zobaczmy podobne zadanie, tym razem dla cosinusa.
Rozwiąż nierówność cos x > 1/2 w przedziale ⟨0, 2π).
Rysujemy okrąg i prostą pionową x = 1/2.
Punkty przecięcia z okręgiem odpowiadają kątom: π/3 i 5π/3 (bo cos π/3 = cos 5π/3 = 1/2).
Warunek cos x > 1/2 oznacza: ściśle na prawo od prostej x = 1/2.
Na jednym obrocie łatwo zobaczyć, że chodzi o fragment z „prawej strony”:
od 0 do π/3 w I ćwiartce,
od 5π/3 do 2π w IV ćwiartce.
Czyli:
x ∈ (0, π/3) ∪ (5π/3, 2π).
Dzięki szkicowi nie trzeba zastanawiać się, czy napisać π/3 czy 2π/3, ani czy nawias ma być otwarty czy domknięty. Granice łuków po prostu widać.
Cos x ≤ b – przejście na „drugą stronę” prostej
Dla porównania spójrz na nierówność z odwrotnym znakiem.
Przykład. Rozwiąż cos x ≤ 1/2 dla x ∈ ⟨0, 2π).
Punkty przecięcia z prostą x = 1/2 to znów π/3 i 5π/3.
cos x ≤ 1/2 oznacza: na lewo od tej prostej lub na niej.
Na okręgu zostają więc kąty od π/3 aż do 5π/3. W zapisie:
x ∈ [π/3, 5π/3].
Łatwo zauważyć, że tutaj przedział jest „środkiem” okręgu, a nie jego „końcówkami”, jak w poprzednim przykładzie. Na samych liczbach trudno to sobie wyobrazić, na rysunku – to jeden rzut oka.
Nierówności z funkcjami przesuniętymi, np. sin(x + α) ≥ a
Co się dzieje z rysunkiem przy przesunięciu argumentu
Gdy w nierówności pojawia się sin(x + α) albo cos(x – β), wiele osób od razu wraca do rachunków. A na okręgu wcale nie robi się dużo trudniej – rysujemy tak samo, tylko pod inną nazwą kąta.
Kluczowa obserwacja jest taka:
„Najpierw rozwiąż nierówność dla nowej zmiennej, np. t = x + α, a dopiero potem wróć do x”.
Inaczej mówiąc, punkt na okręgu wciąż ma współrzędne (cos t, sin t), tylko t jest przesuniętym kątem.
Przykład: sin(x + π/4) ≥ √2/2
Rozwiąż nierówność sin(x + π/4) ≥ √2/2 dla x ∈ ℝ.
Zamiast od razu walczyć z x, wprowadzamy pomocniczy kąt:
Niech t = x + π/4.
Nierówność zamienia się w:
sin t ≥ √2/2.
To już bardzo znajomy kształt. Na okręgu:
prostą y = √2/2 przecinamy okrąg w punktach, gdzie sinus ma tę wartość,
są to kąty t = π/4 i t = 3π/4 (w jednym obrocie),
szukamy punktów nad prostą, czyli łuku od π/4 do 3π/4.
Dla t dostajemy:
t ∈ [π/4 + 2kπ, 3π/4 + 2kπ], k ∈ ℤ.
Teraz cofamy podstawienie t = x + π/4:
x + π/4 ∈ [π/4 + 2kπ, 3π/4 + 2kπ].
Odejmujemy π/4:
x ∈ [0 + 2kπ, π/2 + 2kπ], k ∈ ℤ.
Na rysunku można to zobaczyć inaczej: najpierw zaznaczamy łuk dla t, a potem „przesuwamy” jego opis wzdłuż osi kątów o π/4 w lewo. Matematycznie ten przesuw wykonaliśmy odejmując π/4.
Przykład w konkretnym przedziale: cos(x – π/3) < 0
Na okręgu cosinus ujemny odpowiada lewej stronie osi OY, a więc kątom z przedziału (π/2, 3π/2) w jednym obrocie. Z okresowością:
t ∈ (π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ), k ∈ ℤ.
Wracamy do x:
x – π/3 ∈ (π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ),
czyli po dodaniu π/3:
x ∈ (π/2 + π/3 + 2kπ, 3π/2 + π/3 + 2kπ).
Porządkujemy ułamki:
π/2 + π/3 = 5π/6,
3π/2 + π/3 = 11π/6.
Zapis ogólny:
x ∈ (5π/6 + 2kπ, 11π/6 + 2kπ), k ∈ ℤ.
Teraz dopasujemy to do przedziału ⟨0, 2π). Szukamy takich k, żeby końce przedziału wpadły pomiędzy 0 a 2π.
Dla k = 0: (5π/6, 11π/6) – cały przedział mieści się w ⟨0, 2π).
Dla k = -1 lub 1 przedziały wychodzą poza ⟨0, 2π), więc ich nie bierzemy.
Odpowiedź w zadanym zakresie:
x ∈ (5π/6, 11π/6).
Na rysunku widać po prostu: wszystkie kąty „przesunięte” o π/3 do przodu, dla których końcowy promień leży po lewej stronie. Liczenie to tylko spokojne odklejenie tego, co rysunek dawno sugeruje.
Źródło: Pexels | Autor: www.kaboompics.com
Nierówności bardziej złożone: połączenia warunków
Iloczyn warunków, np. sin x > 0 i cos x ≥ 1/2
W praktycznych zadaniach często pojawia się coś w rodzaju „sin x > 0 i cos x ≥ 1/2” lub „sin x ≤ a i cos x > b”. Na okręgu wygląda to bardzo naturalnie: chodzi o wspólny fragment dwóch łuków.
Najprostszy sposób myślenia:
każda nierówność wycina swój kawałek okręgu,
interesuje nas część, która należy do obu kawałków naraz.
To dokładnie tak, jakbyś szukał ulic, które są jednocześnie w dwóch różnych strefach miasta – zaznaczasz dwie strefy i patrzysz, gdzie się nakładają.
Przykład: sin x > 0 i cos x ≥ 1/2
Rozwiąż układ:
sin x > 0,
cos x ≥ 1/2,
dla x ∈ ⟨0, 2π).
Rozbijamy zadanie na dwie części.
sin x > 0 – punkt nad osią OX, czyli I i II ćwiartka:
x ∈ (0, π).
cos x ≥ 1/2 – punkt na prawo od prostej x = 1/2 lub na niej.
Prosta x = 1/2 przecina okrąg w π/3 i 5π/3.
Łączenie warunków na okręgu – szukanie części wspólnej
Dla kosinusa wiemy z poprzednich przykładów, że:
cos x = 1/2 dla x = π/3 oraz x = 5π/3,
cos x ≥ 1/2 – to kąty „na prawo” od prostej pionowej x = 1/2 lub leżące na niej.
W jednym pełnym obrocie daje to łuki:
od 0 do π/3 w I ćwiartce,
od 5π/3 do 2π w IV ćwiartce.
Czyli:
cos x ≥ 1/2 ⟺ x ∈ [0, π/3] ∪ [5π/3, 2π).
Teraz szukamy wspólnej części z warunkiem sin x > 0, czyli z przedziałem (0, π).
Przedział (0, π) przecina się z [0, π/3] w (0, π/3].
Nie przecina się z [5π/3, 2π), bo ten leży już „po drugiej stronie” okręgu.
Zostaje więc tylko fragment w I ćwiartce:
x ∈ (0, π/3].
Na rysunku widać to jak dwa nałożone na siebie kolorowe łuki. Jeden zaznacza „nad osią OX”, drugi „na prawo od pionowej prostej”. Część wspólna to niewielki wycinek tuż od zera aż do π/3.
Suma warunków, np. sin x ≥ 1/2 lub cos x < 0
Czasem zadanie wymaga, żeby spełniony był przynajmniej jeden z warunków. Wtedy zamiast części wspólnej bierzemy „zlepek” łuków – wszystko, co należy do któregoś z nich.
Przykład. Rozwiąż:
sin x ≥ 1/2 lub
cos x < 0,
dla x ∈ ⟨0, 2π).
Najpierw każdy warunek osobno.
sin x ≥ 1/2:
sin x = 1/2 dla x = π/6 i x = 5π/6,
„nad prostą” y = 1/2 leżymy między tymi kątami.
Zatem:
sin x ≥ 1/2 ⟺ x ∈ [π/6, 5π/6].
cos x < 0:
kosinus ujemny – lewa strona układu współrzędnych,
to kąty z przedziału (π/2, 3π/2).
cos x < 0 ⟺ x ∈ (π/2, 3π/2).
Warunek „lub” oznacza sumę tych przedziałów. Na okręgu można to prześledzić jakbyś zakreślał różnymi kolorami dwa łuki, a potem patrzył, gdziekolwiek pojawia się którykolwiek z kolorów.
Spójrzmy geometrycznie:
od 0 do π/6 – nic nie jest zaznaczone,
od π/6 do π/2 – tylko sin x ≥ 1/2 (I ćwiartka),
od π/2 do 5π/6 – spełnione są oba warunki naraz, ale to i tak „lub”, więc wchodzi cały odcinek,
od 5π/6 do 3π/2 – zostaje tylko cos x < 0,
od 3π/2 do 2π – już żaden warunek nie jest spełniony.
W zapisie:
x ∈ [π/6, 3π/2).
Na samej osi liczbowej to parę linii pionowych i strzałka, na okręgu – jednolity, spójny łuk od π/6 aż do 3π/2. Łatwiej wtedy upewnić się, że niczego nie urwaliśmy po drodze.
Nierówności z tangensem i cotangensem na kole
Jak na rysunku powstaje tangens kąta
Okrąg najczęściej kojarzy się z sinusem i cosinusem, ale tangens też ma tu bardzo wygodną interpretację. Wystarczy dopowiedzieć jedną konstrukcję.
Jeżeli promień jednostkowy tworzy z osią OX kąt x, to punkt na okręgu ma współrzędne (cos x, sin x). Tangens to iloraz:
tan x = sin x / cos x.
Geometrycznie można to zobaczyć tak:
rysujemy prostą pionową x = 1,
przedłużamy promień od środka okręgu pod kątem x aż do przecięcia z tą prostą,
punkt przecięcia ma współrzędne (1, tan x).
Czyli tangens to po prostu wysokość, na jakiej nasz promień „przebija” pionową prostą w odległości 1 od środka. Przy kątach bliskich π/2 promień prawie się kładzie równolegle do x = 1, więc przecina ją bardzo wysoko – to tak intuicyjnie czuć „uciekanie” tangensa do nieskończoności.
Nierówność tan x ≥ m – jaka prosta na rysunku
Jeśli tangens to współrzędna y na prostej x = 1, to nierówność tan x ≥ m zamienia się na pytanie:
„dla jakich kątów przecięcie z prostą x = 1 leży na lub powyżej wysokości y = m?”
Na rysunku:
rysujemy okrąg jednostkowy,
zaznaczamy prostą pionową x = 1,
rysujemy prostą poziomą y = m,
ich punkt przecięcia (1, m) to „docelowa wysokość”, z którą porównujemy nasze punkty (1, tan x).
Gdy obracamy promień od 0 do π, punkty przecięcia z x = 1 wędrują po tej pionowej prostej: najpierw w górę, potem zeskakują „z góry na dół” przy przejściu przez π/2, a następnie znów rosną.
Przykład: tan x > 1 w jednym przedziale długości π
Z tangensem wygodnie pracuje się na przedziale o długości π, np. ⟨-π/2, π/2) lub ⟨0, π). Potem wynik „dokleja się” okresowo.
Rozwiąż nierówność tan x > 1 w przedziale ⟨-π/2, π/2).
Z definicji funkcji:
tan x = 1 gdy x = π/4 (i co π, ale tu skupiamy się na jednym przedziale),
na ⟨-π/2, π/2) tangens rośnie monotonnie od -∞ do +∞.
Na rysunku punkt (1, tan x) przesuwa się wzdłuż prostej x = 1. Warunek tan x > 1 oznacza, że ten punkt jest powyżej punktu (1, 1). To dzieje się dla:
x ∈ (π/4, π/2).
W tym przedziale rysunek jest szczególnie czytelny: od 0 do π/4 promień przecina prostą x = 1 poniżej (1, 1), w π/4 dokładnie w (1, 1), dalej – już powyżej.
Dodanie okresowości: tan x > 1 dla wszystkich x
Tangens ma okres π, więc cały obrazek co π się powtarza. Wystarczy dopisać do rozwiązania z jednego „podstawowego” przedziału kolejne kopiowane fragmenty.
Rozwiązanie ogólne nierówności tan x > 1 jest więc:
x ∈ (π/4 + kπ, π/2 + kπ), k ∈ ℤ.
Na okręgu wygląda to tak, jakbyśmy co pół obrotu (czyli co π) mieli ten sam kawałek łuku, tylko startujący od innego miejsca.
Przykład z ograniczonym przedziałem: tan x ≤ 0 w ⟨0, 2π)
Teraz trochę inne zadanie.
Rozwiąż nierówność tan x ≤ 0 dla x ∈ ⟨0, 2π).
Z definicji:
tan x = 0, gdy sin x = 0 i cos x ≠ 0, czyli dla x = kπ,
na jednym obrocie: x = 0, π (oraz 2π, ale 2π jest poza prawym końcem przedziału półotwartego ⟨0, 2π)).
Teraz patrzymy na znak tangensa. Ponieważ tan x = sin x / cos x, to:
w I ćwiartce (0, π/2) – oba dodatnie, więc tan x > 0,
w II ćwiartce (π/2, π) – sinus dodatni, cosinus ujemny, więc tan x < 0,
w III ćwiartce (π, 3π/2) – oba ujemne, tan x > 0,
w IV ćwiartce (3π/2, 2π) – sinus ujemny, cosinus dodatni, więc tan x < 0.
Warunek tan x ≤ 0 obejmuje miejsca, gdzie tangens jest ujemny lub równy zero:
punkt x = π (na ⟨0, 2π) początek 0 jest wyłączony),
przedziały, w których tan x < 0: (π/2, π) i (3π/2, 2π).
Wszystko razem:
x ∈ (π/2, π] ∪ (3π/2, 2π).
Na rysunku dobrze widać, że są to „górna lewa” oraz „dolna prawa” część okręgu, wraz z punktem (−1, 0) odpowiadającym kątowi π.
Nierówności z tangensem przesuniętym, np. tan(x + α) ≥ m
Przesunięcie argumentu tangensa jako obrót promienia
Gdy w środku stoi tangens przesunięty, np. tan(x + α), sytuacja jest bardzo podobna do tej z sinusem i cosinusem. Znów wprowadzamy pomocniczy kąt:
Niech t = x + α.
Na okręgu nic się magicznie nie zmienia – wciąż patrzymy na punkt przecięcia promienia pod kątem t z prostą x = 1 i odczytujemy jego wysokość tan t. Dopiero na końcu cofamy się z t do x.
Przykład: tan(x – π/4) < 1 w ℝ
Rozwiąż nierówność tan(x – π/4) < 1 dla x ∈ ℝ.
Podstawiamy:
t = x – π/4.
Wtedy:
tan t < 1.
Na jednym przedziale podstawowym, np. ⟨-π/2, π/2), wiemy że:
tan t = 1 dla t = π/4,
na tym przedziale tangens jest rosnący.
Stąd:
t ∈ (-π/2 + kπ, π/4 + kπ), k ∈ ℤ.
Teraz cofamy podstawienie t = x – π/4:
x – π/4 ∈ (-π/2 + kπ, π/4 + kπ),
dodajemy π/4:
x ∈ (-π/2 + π/4 + kπ, π/4 + π/4 + kπ),
czyli:
x ∈ (-π/4 + kπ, π/2 + kπ), k ∈ ℤ.
Na rysunku: najpierw w myśli zaznaczamy łuki odpowiadające nierówności tan t < 1, potem „przesuwamy” je o π/4 w prawo (bo x = t + π/4). Ostateczny wynik to te same kawałki, tylko obrócone względem osi kątów.
Przykład w konkretnym zakresie: tan(x + π/6) ≥ 0 w ⟨0, 2π)
Rozwiąż nierówność tan(x + π/6) ≥ 0 dla x ∈ ⟨0, 2π).
Znów pomocnicza zmienna:
t = x + π/6.
Szukamy więc:
tan t ≥ 0.
Tangens jest nieujemny, gdy iloraz sin t / cos t jest ≥ 0, a więc gdy sinus i cosinus mają ten sam znak albo któryś z nich jest zerem.
sin t = 0 dla t = kπ,
na (0, π/2) – oba dodatnie ⇒ tan t > 0,
na (π/2, π) – różne znaki ⇒ tan t < 0,
na (π, 3π/2) – oba ujemne ⇒ tan t > 0,
na (3π/2, 2π) – znaki różne ⇒ tan t < 0.
W jednym obrocie dostajemy:
t ∈ [0 + kπ, π/2 + kπ) ∪ (π + kπ, 3π/2 + kπ], k ∈ ℤ.
Taki zapis uwzględnia końce, w których tangens jest zerowy.
Co warto zapamiętać
Rysunek na okręgu jednostkowym zamienia abstrakcyjne nierówności trygonometryczne w prostą sytuację geometryczną: szukamy po prostu fragmentu okręgu, po którym może „chodzić” punkt odpowiadający danemu kątowi.
Wiele typowych błędów (pomylenie ćwiartek, złe znaki, zgubiona okresowość) wynika z braku obrazu w głowie; szkic okręgu działa jak mapa kontrolna – od razu widać, czy zakres kątów ma sens.
Okręgu jednostkowego najlepiej używać tam, gdzie zysk jest natychmiastowy: przy prostych warunkach na znak (np. sin x > 0), „klasycznych” wartościach (1/2, √2/2 itd.), zadaniach w konkretnym przedziale (np. ⟨0, 2π)) i przy mieszankach sinusa z cosinusem.
Kluczowe skojarzenie: cos x i sin x to po prostu współrzędne punktu na okręgu (x i y). Dzięki temu nierówność typu sin x ≥ a oznacza: wybierz te punkty na okręgu, które leżą nad prostą y = a.
Szybki szkic okręgu (osie, cztery podstawowe punkty, kilka „klasycznych” kątów) w zupełności wystarcza, by sprawnie rozwiązywać zadania; rysunek nie musi być idealny, ma być czytelny dla ciebie.
Podział okręgu na ćwiartki od razu podpowiada znaki sinusa i cosinusa w danym zakresie kątów, więc zamiast pamiętać suche regułki, wystarczy spojrzeć, gdzie leży punkt: nad czy pod osią OX, po której stronie osi OY.
Bibliografia
Trygonometria. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego. Wydawnictwo Nowa Era (2019) – Definicje sinusa, cosinusa, tangensa; przykłady nierówności trygonometrycznych
Matematyka. Podręcznik dla liceum i technikum. Zakres rozszerzony. Wydawnictwo Pazdro (2020) – Okrąg jednostkowy, znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach, zadania z nierównościami
Matematyka. Zbiór zadań maturalnych z rozwiązaniami. Centralna Komisja Egzaminacyjna (2023) – Zadania maturalne z nierównościami trygonometrycznymi i rozwiązaniami
