Zadania na kratkach: jak obliczyć pole wielokąta bez dzielenia na dziesiątki trójkątów

Uczeń widzi nieregularny wielokąt narysowany na kratkach i zaczyna dzielić go na kolejne trójkąty. Po kilku minutach ma już kilkanaście ułamków, a mimo to nie jest pewien, czy żadnego fragmentu nie policzył dwa razy. W takiej sytuacji często wystarczy rozpoznać warunki twierdzenia Picka i policzyć dwa rodzaje punktów kratowych.

Najpierw rozpoznaj, z jaką figurą i jaką siatką masz do czynienia

Kratka nie zawsze oznacza to samo

W zadaniach dotyczących pola wielokąta na kratkach słowo „kratka” najczęściej oznacza kwadrat, którego bok ma długość 1. Jeśli tak jest, jedna mała kratka ma pole równe 1, a odległość między sąsiednimi liniami siatki wynosi jedną jednostkę. Dopiero wtedy można bezpośrednio traktować rysunek jako układ punktów kratowych i stosować metody przeznaczone dla siatki kwadratowej.

Czasem jednak rysunek przedstawia układ współrzędnych, w którym jedna jednostka na osi poziomej nie odpowiada jednej jednostce na osi pionowej. Przykładowo, odległość między kolejnymi liniami pionowymi może oznaczać 2 cm, a między poziomymi 1 cm. Wtedy pojedyncza „kratka” nie ma pola 1, lecz pole 2 · 1 = 2 cm². Wzór Picka można zastosować do liczby kratek w przeskalowanej siatce tylko wtedy, gdy prawidłowo uwzględni się rzeczywiste jednostki pola.

Trzeba także odróżnić linie siatki od punktów siatki. Punkt kratowy to miejsce przecięcia dwóch linii. Wierzchołek wielokąta leżący na takim przecięciu jest punktem kratowym. Sama kratka jest natomiast obszarem między liniami. Twierdzenie Picka korzysta z punktów, a nie z liczby małych kwadratów dotkniętych przez figurę. ^[3]

Pięć pytań przed rozpoczęciem rachunków

Zanim wybierzesz metodę, przeprowadź krótki test. Nie chodzi o formalność, lecz o uniknięcie sytuacji, w której poprawnie użyty wzór zostanie zastosowany do niewłaściwego rysunku.

1. Czy wszystkie wierzchołki leżą w punktach kratowych? Sprawdź, czy każdy wierzchołek znajduje się na przecięciu linii siatki, a nie w połowie kratki lub na samej linii.
2. Czy figura jest zamknięta? Obwód powinien tworzyć jeden zamknięty wielokąt. Nie wolno pominąć żadnego boku.
3. Czy boki nie przecinają się poza wierzchołkami? Zwykła wersja wzoru Picka dotyczy wielokąta prostego, czyli takiego, którego boki się nie krzyżują.
4. Czy figura nie ma otworu? Wielokąt z „dziurą” wymaga ostrożniejszej analizy; nie można bez namysłu użyć podstawowej postaci wzoru.
5. Czy kratki są jednakowe i kwadratowe? Jeśli nie, trzeba przeliczyć jednostki albo wybrać inną metodę.

Wielokąt prosty, wklęsły i samoprzecinający się

Wielokąt prosty może być wypukły albo wklęsły. Wypukły nie ma „wcięcia”: każdy odcinek łączący dwa jego punkty pozostaje wewnątrz figury. Wielokąt wklęsły ma co najmniej jeden kąt wewnętrzny większy niż 180°, ale nadal może być zwykłą figurą bez samoprzecięć. Dla obu tych typów, o ile wierzchołki są kratowe i nie ma otworów, twierdzenie Picka działa.

Inaczej wygląda sytuacja, gdy boki tworzą kształt przypominający gwiazdę i przecinają się w środku. Wtedy trzeba najpierw ustalić, jakie pole jest liczone: pole obszaru zajętego przez figurę, pole algebraiczne czy suma pól kilku części. Podstawowe zadania szkolne z twierdzeniem Picka nie są konstruowane w ten sposób.

Mini-wniosek: samo „widzę kratki” nie oznacza jeszcze, że każdy wzór będzie pasował. Najpierw rozpoznaj rodzaj siatki i kształt figury, a dopiero potem decyduj, czy liczyć punkty kratowe, rozcinać figurę, czy skorzystać ze współrzędnych.

Kiedy twierdzenie Picka jest dobrym skrótem, a kiedy lepiej z niego zrezygnować

Warunki zastosowania wzoru Picka

Twierdzenie Picka pozwala obliczyć pole wielokąta o wierzchołkach leżących w punktach kratowych. W najczęściej używanej postaci zapisuje się je tak: ^[1]

P = I + ^B⁄₂ − 1

Symbole oznaczają:

• P – pole wielokąta,
• I – liczbę punktów kratowych leżących ściśle wewnątrz figury,
• B – liczbę punktów kratowych leżących na brzegu figury, razem z wierzchołkami.

Wzór jest szczególnie wygodny, gdy wielokąt jest prosty, nie ma otworów, jego boki nie przecinają się, a wszystkie wierzchołki znajdują się w punktach przecięcia linii siatki. Jednostką pola jest wtedy pole jednej kratki, jeżeli bok kratki ma długość 1.

Najczęstsze nieporozumienie dotyczy liczby B. Nie jest to liczba boków. Nie jest to również liczba kratek stykających się z obwodem. To liczba wszystkich punktów kratowych leżących na obwodzie, przy czym każdy punkt liczy się tylko raz.

Kiedy metoda daje wyraźną przewagę

Twierdzenie Picka ma sens przede wszystkim wtedy, gdy figura jest nieregularna, ale siatka pozwala szybko policzyć punkty. Wielokąt może mieć sześć, osiem albo dziesięć boków, a mimo to tylko kilka punktów wewnętrznych. Rozcinanie go na trójkąty wymagałoby wtedy wielu wysokości i pilnowania, czy części dokładnie pokrywają całą figurę.

Metoda jest także korzystna, gdy boki są ukośne. Ukośny bok może przecinać kilka kratek i wyglądać na trudny do zmierzenia, ale jeśli jego końce leżą w punktach kratowych, liczbę punktów kratowych na tym boku można ustalić za pomocą różnic współrzędnych. Nie trzeba obliczać długości przekątnej ani wysokości opuszczonej na bok.

Wybór Picka jest rozsądny, gdy pole jest jedyną szukaną wielkością. Jeśli zadanie pyta jednocześnie o obwód, długość przekątnej i pole, współrzędne lub rozcięcie figury mogą okazać się bardziej uniwersalne. Twierdzenie Picka odpowiada na pytanie o pole, ale nie zastępuje wszystkich innych narzędzi geometrycznych.

Kiedy bezpieczniejsza jest inna metoda

Zrezygnuj z bezpośredniego użycia wzoru, gdy wierzchołek leży pomiędzy liniami siatki. Wtedy nie jest punktem kratowym, a klasyczne twierdzenie Picka nie ma zastosowania wprost. Można czasem przesunąć, powiększyć lub rozłożyć figurę, lecz wymaga to dodatkowego uzasadnienia. Nie wolno po prostu policzyć punktów tak, jakby wierzchołek znajdował się na przecięciu linii.

Innej metody potrzebuje również figura z otworem. Przykładowo, jeśli duży wielokąt ma w środku wycięty mniejszy wielokąt, można obliczyć pole zewnętrznej figury i odjąć pole otworu. Stosowanie jednego wzoru Picka do całego obszaru bez uwzględnienia granicy wewnętrznej prowadzi do błędnego wyniku. ^[2]

Jeżeli w treści podano podstawę i wysokość, przekątną dzielącą figurę na dwa trójkąty albo długości boków prostokąta, bezpośredni wzór może być krótszy i czytelniejszy. Pick nie jest metodą, którą trzeba stosować za wszelką cenę. Dobra strategia polega na wybraniu najprostszego poprawnego sposobu.

Jak liczyć punkty brzegowe bez pomyłek

Co dokładnie wchodzi do liczby B

Punkty brzegowe to wszystkie punkty kratowe znajdujące się na obwodzie wielokąta. Należą do nich wierzchołki oraz ewentualne punkty kratowe leżące w środku boków. Jeśli bok jest poziomy i ma długość 5 kratek, na jego odcinku znajdują się 6 punktów kratowych, ale przy sumowaniu boków nie wolno dodawać wszystkich końców niezależnie. Wspólny wierzchołek dwóch kolejnych boków zostałby wtedy policzony dwukrotnie.

Jeśli chcesz pogłębić ten wątek, sprawdź też: Zadania na obwód i pole: jak wybrać wzór, gdy figura wygląda „dziwnie” na egzaminie ósm….

Najbezpieczniejsza metoda polega na liczeniu punktów przypadających na każdy bok, a następnie odejmowaniu powtórzeń albo zastosowaniu prostego wzoru opartego na różnicach współrzędnych. Dla boku łączącego punkty o współrzędnych (x₁, y₁) i (x₂, y₂) liczba odcinków kratowych, na które dzieli się ten bok, wynosi:

n = NWD(|x₂ − x₁|, |y₂ − y₁|)

Symbol NWD oznacza największy wspólny dzielnik. Gdy przechodzimy po całym zamkniętym obwodzie i dla każdego boku dodajemy taką wartość, otrzymujemy liczbę punktów brzegowych B. Każdy bok wnosi liczbę nowych „kroków” między swoim początkiem a końcem, a końcowy punkt ostatniego boku zamyka obwód bez dodatkowego podwójnego liczenia.

Boki poziome i pionowe

Na bokach poziomych i pionowych liczenie jest intuicyjne. Odcinek od (2, 4) do (7, 4) ma różnicę współrzędnych równą 5, więc dzieli się na 5 jednostkowych odcinków. W punktach kratowych na tym odcinku jest 6, ale we wzorze na całkowitą liczbę punktów brzegowych bok wnosi 5, ponieważ punkt końcowy zostanie uwzględniony przy następnym boku.

Przykład: prostokąt o wierzchołkach (1, 1), (6, 1), (6, 4), (1, 4) ma boki o długościach kratowych 5, 3, 5 i 3. Zatem:

B = 5 + 3 + 5 + 3 = 16.

Nie należy liczyć tylko czterech narożników. Na każdym dłuższym boku znajdują się dodatkowe punkty kratowe, a wzór Picka wymaga ich uwzględnienia.

Boki ukośne i największy wspólny dzielnik

Na odcinku ukośnym nie wystarczy spojrzeć na jego długość. Liczą się różnice współrzędnych w poziomie i w pionie. Przykładowo, bok od punktu (0, 0) do punktu (6, 4) ma różnice równe odpowiednio 6 i 4. Ponieważ:

NWD(6, 4) = 2,

bok wnosi do liczby B dwa kroki kratowe. W rzeczywistości na jego odcinku leżą trzy punkty kratowe: (0, 0), (3, 2) i (6, 4). Wartość 2 oznacza liczbę przejść między tymi punktami, a nie liczbę samych punktów.

Jeżeli różnice współrzędnych są względnie pierwsze, bok nie ma żadnego dodatkowego punktu kratowego pośrodku. Dla odcinka od (1, 1) do (4, 3) otrzymujemy:

NWD(3, 2) = 1.

Oznacza to, że na tym boku znajdują się tylko jego dwa końce. Z kolei dla odcinka od (2, 1) do (8, 7) mamy:

NWD(6, 6) = 6.

Wzdłuż boku leżą wtedy również punkty (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5) i (7, 6). Nie trzeba wypisywać ich wszystkich, jeśli interesuje nas tylko liczba B.

Jak szybko wyznaczać B dla całego wielokąta

Najwygodniej zapisać wierzchołki w kolejności obchodzenia figury, a obok każdego boku obliczyć NWD różnic współrzędnych. Przykładowy zapis może wyglądać tak:

Po zsumowaniu otrzymujemy:

B = 6 + 2 + 1 + 1 = 10.

Warto zwrócić uwagę na boki, dla których jedna różnica współrzędnych wynosi zero. Zapis NWD(6, 0) oznacza po prostu 6, a NWD(0, 4) oznacza 4. Dzięki temu ta sama reguła działa dla boków poziomych, pionowych i ukośnych.

Jak policzyć punkty wewnętrzne I

Liczenie punktów w kolejnych wierszach siatki

Punkty wewnętrzne to te punkty kratowe, które nie leżą na obwodzie, lecz znajdują się w środku figury. Przy niewielkim wielokącie można zaznaczać je w kolejnych poziomych wierszach siatki. Trzeba jednak pomijać punkty należące do brzegu.

W praktyce dla każdego poziomu y warto ustalić:

• gdzie obwód wchodzi w dany wiersz,
• gdzie z niego wychodzi,
• które całkowite wartości x leżą pomiędzy tymi granicami,
• czy któryś z tych punktów znajduje się dokładnie na boku.

W figurach wypukłych zwykle występuje jeden przedział punktów wewnętrznych w każdym zajętym wierszu. W figurach wklęsłych jeden wiersz może przecinać kilka oddzielnych części obszaru, dlatego trzeba liczyć je osobno i nie wypełniać automatycznie całego zakresu między skrajnymi punktami.

Pełny przykład z punktami brzegowymi i wewnętrznymi

Rozważmy wielokąt o wierzchołkach uporządkowanych następująco:

(1, 1), (7, 1), (5, 5), (2, 4).

Najpierw liczymy punkty brzegowe. Dla kolejnych boków otrzymujemy wartości 6, 2, 1 i 1, więc:

B = 10.

Teraz wyznaczamy punkty wewnętrzne, analizując kolejne poziome wiersze:

• dla y = 2 wewnątrz leżą punkty o współrzędnych x = 2, 3, 4, 5, 6, czyli 5 punktów,
• dla y = 3 leżą punkty x = 2, 3, 4, 5, czyli 4 punkty,
• dla y = 4 leżą punkty x = 3, 4, 5, czyli 3 punkty.

Wiersze y = 1 i y = 5 nie dostarczają punktów ściśle wewnętrznych: pierwszy leży na dolnym boku, a drugi przechodzi przez wierzchołek i granicę figury. Zatem:

I = 5 + 4 + 3 = 12.

Podstawiamy obie wartości do twierdzenia Picka:

P = I + ^B⁄₂ − 1

P = 12 + ¹⁰⁄₂ − 1 = 12 + 5 − 1 = 16.

Pole tego wielokąta wynosi więc 16 jednostek kwadratowych, jeśli odległość między sąsiednimi liniami siatki jest równa 1.

Gdy punktów wewnętrznych jest dużo

Ręczne zaznaczanie każdego punktu sprawdza się tylko przy małych figurach. Przy większym rysunku można połączyć kilka metod. Najpierw wyznacz liczbę B za pomocą NWD, a następnie oblicz pole innym sposobem, na przykład z podstaw i wysokości albo ze współrzędnych. Wtedy liczbę punktów wewnętrznych można otrzymać po przekształceniu wzoru:

I = P − ^B⁄₂ + 1.

Takie podejście jest przydatne jako kontrola, ale wymaga wcześniejszego, niezależnego wyznaczenia pola. Nie należy wyznaczać jednocześnie pola i liczby I wyłącznie z jednego równania, jeśli nie znamy żadnej z tych wartości.

Dobrym uzupełnieniem tego tematu jest także poradnik: Kiedy użyć twierdzenia Pitagorasa? Rozpoznawanie zadań na egzaminie ósmoklasisty.

Jak skontrolować wynik i wychwycić błąd

Kontrola rachunku Picka

Po obliczeniu pola sprawdź, czy wynik jest zgodny z charakterem figury. Jeśli wszystkie wielkości są liczbami całkowitymi, liczba I jest całkowita, a B jest parzyste, pole powinno wyjść całkowite. Gdy B jest nieparzyste, pole może być połówką jednostki kwadratowej.

Możesz również przekształcić wzór i sprawdzić, czy liczba punktów wewnętrznych odzyskana z obliczonego pola jest całkowita:

I = P − ^B⁄₂ + 1.

Jeżeli wychodzi liczba ujemna dla dużej figury albo liczba niecałkowita mimo całkowitego pola i parzystego B, prawdopodobnie pomylono liczbę boków z liczbą punktów brzegowych lub pominięto punkt leżący na boku ukośnym.

Porównanie z innym sposobem

Dobrym sprawdzianem jest niezależne obliczenie pola. Dla wielokąta opisanego współrzędnymi można zastosować wzór shoelace, czyli wzór na pole wielokąta ze współrzędnych:

P = ¹⁄₂ |(x₁y₂ + x₂y₃ + … + x_ny₁) − (y₁x₂ + y₂x₃ + … + y_nx₁)|.

Nie trzeba używać tego wzoru w głównym rozwiązaniu, ale może on potwierdzić wynik otrzymany z twierdzenia Picka. Przy prostych figurach wystarczy też oszacowanie: pole nie powinno być większe od pola prostokąta obejmującego całą figurę ani mniejsze od pola oczywiście zawartego w niej trójkąta.

Najczęstsze błędy w końcowej fazie

• Dodawanie wszystkich punktów na każdym boku. Wspólne wierzchołki zostałyby policzone więcej niż raz.
• Używanie długości geometrycznej boku zamiast NWD różnic współrzędnych. To długość w jednostkach długości, a nie właściwy wkład do liczby punktów kratowych.
• Wliczanie punktów brzegowych do I. Punkt leżący na obwodzie nie jest punktem wewnętrznym.
• Wypełnianie całego wiersza między skrajnymi punktami. W figurze wklęsłej może to dodać punkty leżące poza obszarem.

Jak podjąć decyzję: użyć twierdzenia Picka czy wybrać inną metodę

Po sprawdzeniu punktów brzegowych i wewnętrznych warto jeszcze ocenić, czy twierdzenie Picka rzeczywiście jest w tej sytuacji najwygodniejszym narzędziem. Nie każda figura narysowana na kratkach zyskuje na tym sposobie rozwiązania.

Sytuacja	Decyzja	Dlaczego
Wierzchołki leżą w punktach kratowych, a figura jest prostym wielokątem	Warto użyć Picka	Wystarczy ustalić liczby I i B, bez dzielenia figury na wiele części.
Wielokąt ma wiele boków ukośnych, ale niewiele punktów wewnętrznych	Zwykle warto	NWD szybko wyznacza punkty brzegowe, a punkty wewnętrzne można policzyć w kilku wierszach.
Wierzchołek leży pomiędzy punktami kratowymi	Uważaj	Standardowa postać twierdzenia Picka nie ma wtedy bezpośredniego zastosowania.
Figura ma otwór albo kilka niezależnych obszarów	Lepiej wybrać inną metodę	Prosty wzór P = I + B/2 − 1 opisuje figurę bez otworów.
Wielokąt jest samoprzecinający się	Nie stosuj go bez dodatkowej analizy	Nie jest wtedy jasne, jaki obszar ma być liczony jako wnętrze.
Współrzędne wierzchołków są podane, ale siatka jest duża	Porównaj z metodą współrzędnych	Wzór shoelace może szybciej dać pole niż ręczne wyszukiwanie wszystkich punktów wewnętrznych.

Warto użyć Picka, gdy liczenie punktów jest krótsze niż rozcinanie figury

Twierdzenie Picka jest szczególnie wygodne wtedy, gdy wielokąt ma nieregularny kształt, ale jego obwód przechodzi przez niewiele punktów kratowych. W takiej sytuacji rozcinanie figury na trójkąty mogłoby wymagać wielu dodatkowych obliczeń, podczas gdy liczba B wynika z kilku wartości NWD.

Przykładowo, dla wielokąta o bokach łączących punkty kratowe można najpierw obliczyć wkłady:

• NWD(8, 0) = 8,
• NWD(3, 6) = 3,
• NWD(5, 2) = 1,
• NWD(2, 4) = 2.

Stąd B = 8 + 3 + 1 + 2 = 14. Jeżeli z odczytu wierszy wynika, że I = 20, to pole otrzymujemy od razu:

P = 20 + ¹⁴⁄₂ − 1 = 26.

W tym przypadku nie ma potrzeby wyznaczać wysokości kilku trójkątów ani szukać osobno pól trapezów.

Uważaj, gdy siatka nie jest jednostkowa

Jeżeli odległości między sąsiednimi liniami siatki wynoszą na przykład 2 cm w poziomie i 1 cm w pionie, obliczenia kratowe prowadzi się w układzie numerów wierszy i kolumn, ale wynik trzeba przeliczyć na rzeczywiste jednostki. Jedna kratka ma wtedy pole:

2 · 1 = 2 cm².

Jeśli z twierdzenia Picka w skali kratowej otrzymasz 15, rzeczywiste pole wynosi 15 · 2 = 30 cm². Pominięcie tego przelicznika da poprawny wynik w „polach kratek”, lecz niepoprawną wartość w centymetrach kwadratowych.

Podobnie postępuje się przy innych stałych odstępach między liniami. Najpierw liczy się pole w jednostkach siatki, a na końcu mnoży przez pole jednej kratki.

Kiedy lepiej wybrać wzór shoelace

Wzór Picka może być niewygodny, gdy figura jest duża i ma tysiące punktów kratowych wewnątrz. Samo ich zliczanie w kolejnych wierszach byłoby wtedy bardziej pracochłonne niż zapisanie współrzędnych w tabeli i wykonanie rachunku ze wzoru shoelace.

Przy wyborze metody sprawdź więc nie tylko kształt figury, lecz także rodzaj danych:

• gdy masz wyraźny rysunek i łatwo odczytasz punkty kratowe, wygodny będzie Pick,
• gdy masz dokładną listę współrzędnych, szybszy może być wzór shoelace,
• gdy figura składa się z kilku prostych części, można obliczyć pola części i je dodać lub odjąć,
• gdy występują otwory, należy rozpatrywać obszar z większą ostrożnością, zamiast bezpośrednio podstawiać dane do prostego wzoru Picka.

Praktyczna lista kontrolna przed zapisaniem wyniku

Przed zakończeniem rozwiązania przejdź przez krótką listę kontrolną:

1. Czy wierzchołki zostały zapisane w kolejności obchodzenia figury?
2. Czy ostatni wierzchołek został połączony z pierwszym?
3. Czy każdy bok wnosi do B wartość równą NWD różnic współrzędnych?
4. Czy wspólne wierzchołki nie zostały policzone drugi raz?
5. Czy do I zaliczono wyłącznie punkty leżące ściśle wewnątrz?
6. Czy wklęsłe fragmenty nie zostały omyłkowo wypełnione całym przedziałem między skrajnymi punktami?
7. Czy wynik ma właściwą jednostkę pola?
8. Czy można go porównać z przybliżeniem albo obliczeniem wykonanym inną metodą?

Jeżeli na którekolwiek z tych pytań odpowiedź brzmi „nie”, nie warto jeszcze podstawiać danych do wzoru. Najpierw trzeba poprawić opis figury lub sposób liczenia punktów.

Końcowa rekomendacja: wybierz metodę, którą da się niezależnie sprawdzić

Najbezpieczniejsza decyzja nie zawsze polega na mechanicznym użyciu twierdzenia Picka. Stosuj je wtedy, gdy figura jest zgodna z warunkami, a liczby I i B można wyznaczyć bez zgadywania. W przypadku prostego wielokąta na regularnej siatce jest to często najszybszy sposób na pole bez dzielenia obszaru na dziesiątki trójkątów.

Jeśli jednak pojawia się otwór, samoprzecięcie, nietypowa siatka albo bardzo duża liczba punktów wewnętrznych, porównaj Picka ze wzorem shoelace lub rozbiciem figury na prostsze części. Ostateczny wynik warto potwierdzić choćby przez oszacowanie wielkości pola. Taka kontrola pozwala odróżnić poprawne skrócenie rachunków od pozornie szybkiego, lecz błędnego rozwiązania.

Źródła

• [1] Zintegrowana Platforma Edukacyjna – 6. Pola wielokątów ↑
• [2] Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie – Informacje do zadań 8. i 9. — przykładowy arkusz egzaminu ósmoklasisty z matematyki ↑
• [3] Skul – Punkt kratowy to miejsce przecięcia się linii — Zadanie 9 ↑